eqn = (Subscript[ω, 0])+h (c[2] (Subscript[ω, 1])+c[1] (Subscript[ω, 10]))+(1/2) (h^2) (((c[2])^2) (Subscript[ω, 2])+2 c[1] c[2] (Subscript[ω, 11])+((c[1])^2) (Subscript[ω, 20]))+(1/6) (h^3) (((c[2])^3) (Subscript[ω, 3])+3 c[1] ((c[2])^2) (Subscript[ω, 12])+3 ((c[1])^2) c[2] (Subscript[ω, 21])+((c[1])^3) (Subscript[ω, 30]))==(Subscript[ω, 0])+h (c[1] (Subscript[ω, 1])+c[2] (Subscript[ω, 10]))+(1/2) (h^2) (((c[1])^2) (Subscript[ω, 2])+2 c[1] c[2] (Subscript[ω, 11])+((c[2])^2) (Subscript[ω, 20]))+(1/6) (h^3) (((c[1])^3) (Subscript[ω, 3])+3 ((c[1])^2) c[2] (Subscript[ω, 12])+3 c[1] ((c[2])^2) (Subscript[ω, 21])+((c[2])^3) (Subscript[ω, 30]))

Simplify[eqn]

SolveAlways[eqn, {c[1], c[2], h}]

z+(x==y)

Series[f[x]==g[x], {x,0,3}]